Теория вероятностей и математическая статистика: в 2 частях. Часть I. Аканбай Н.

4 000 4 600 

В учебнике математические основы теории вероятностей изложены на базе аксио-
матики А.Н. Колмогорова. В 1 главе материалы о случайных событиях и их вероятностях рассматриваются в рамках дискретного вероятностного пространства. 2 глава посвящена общему вероятностному пространству. В 3 главе случайная величина определена как измеримая функция. Рассматриваемое в 4 главе понятие математического ожидания введено как интеграл Лебега по вероятностной мере на общем вероятностном пространстве, при этом от читателей не требуется знание каких-либо сведений об интеграле Лебега. В 5 главе рассматриваются предельные теоремы в схеме Бернулли. В 6 и 7 главах изложены материалы об различных видах сходимости последовательностей случайных величин и о законах больших чисел. Учебник рекомендован студентам, магистрантам и докторантам PhD, обучающимся по специальности «Математика».

Очистить

Product Description

ПРЕДИСЛОВИЕ ……………………………………………………………………………………………… 9
Глава I. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И ИХ ВЕРОЯТНОСТИ ……………………….. 15
§1. Пространство элементарных событий. Классическое определение
вероятности. Простейшие свойства вероятности …………………………………………… 15
1.1. Дискретное вероятностное пространство …………………………………………………….. 17
1.1.1. Классическое определение вероятности ……………………………………………………. 18
1.1.2. События. Операции над событиями ………………………………………………………….. 20
1.2. Элементы комбинаторики …………………………………………………………………………… 28
1.3. Размещение шаров по ящикам …………………………………………………………………….. 36
1.3.1. Статистики Максвелла – Больцмана, Бозе – Эйнштейна
и Ферми – Дирака ……………………………………………………………………………………………… 39
1.4. Задания для самостоятельной работы ………………………………………………………….. 43
1.4.1. События и операции над событиями …………………………………………………………. 43
1.4.2. Нахождение вероятностей по классическому определению вероятности ……. 44
§2. Некоторые классические модели и распределения …………………………………… 46
2.1. Схема Бернулли. Биномиальное распределение …………………………………………… 46
2.2. Полиномиальная схема. Полиномиальное распределение ……………………….. 49
2.3. Гипергеометрическое и многомерное гипергеометрическое распределения …. 51
2.4. Задания для самостоятельной работы ………………………………………………………….. 55
§3. Геометрические вероятности …………………………………………………………………….. 56
3.1. Задания для самостоятельной работы ………………………………………………………….. 58
Глава IІ. ВЕРОЯТНОСТНОЕ ПРОСТРАНСТВО ………………………………………….. 61
§1. Аксиомы теории вероятностей. Общее вероятностное пространство ………. 61
1.1. Необходимость расширения понятия пространства элементарных событий …. 62
1.2. Вероятность на измеримом пространстве …………………………………………………….. 65
1.2.1. Свойства вероятности ………………………………………………………………………………. 66
1.3. Задания для самостоятельной работы ………………………………………………………….. 76
§2. Алгебры, сигма-алгебры и измеримые пространства……………………………….. 77
2.1. Алгебры и сигма-алгебры ……………………………………………………………………………. 77
2.1.1.Теорема о продолжении вероятности …………………………………………………………. 79
2.2. Важнейшие примеры измеримых пространств …………………………………………….. 80
812.3. Задания для самостоятельной работы ………………………………………………………. 86
§3. Способы задания вероятностных мер на измеримых пространствах ……….. 88
3.4. Задания для самостоятельной работы ……………………………………………… 102
§4. Условная вероятность. Независимость ……………………………………………………… 104
4.1. Условная вероятность. Формула умножения вероятностей …………………………… 104
4.2. Независимость ……………………………………………………………………………………………. 109
4.2.1. Независимость событий ……………………………………………………………………………. 109
4.2.2. Независимость разбиений и алгебр. Независимые испытания.
Независимость σ-алгебр …………………………………………………………………………………….. 117
4.3. Формула полной вероятности и формулы Байеса …………………………………… 125
4.3.1. Формула полной вероятности …………………………………………………………………… 125
4.3.2. Формулы Байеса ………………………………………………………………………………………. 133
4.4. Задания для самостоятельной работы ………………………………………………………….. 135
Глава ІII. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ………………………………………………………….. 139
§1. Случайные величины и их распределения ……………………………………………….. 139
1.1. Дискретные случайные величины………………………………………………………………… 143
1.2. Абсолютно непрерывные случайные величины ……………………………………………. 147
1.3. Эквивалентные определения случайной величины ………………………………… 152
1.4. Функции от случайной величины ………………………………………………………………… 154
1.4.1. Распределения функций от случайной величины ………………………………………. 154
1.4.2. Структуры измеримых функций ……………………………………………………………….. 156
1.5. Класс расширенных случайных величин и замкнутость этого
класса относительно поточечной сходимости ……………………………………………….. 158
1.6. Задания для самостоятельной работы ………………………………………………………….. 160
§2. Многомерные случайные величины …………………………………………………………. 162
2.1. Многомерные случайные величины и их распределения. Маргинальные
распределения …………………………………………………………………………………………………… 162
2.1.1. Многомерные дискретные и абсолютно непрерывные
случайные величины …………………………………………………………………………………………. 165
2.2. Независимость случайных величин ……………………………………………………………… 174
2.3. Функции случайных величин ………………………………………………………………………. 179
2.3.1. Распределения суммы, отношения и произведения случайных величин …….180
2.3.2. Линейное преобразование случайных величин ………………………………………. 184
2.4. Условные распределения …………………………………………………………………………….. 195
2.5. Задания для самостоятельной работы ………………………………………………………….. 199
Глава IV. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ ……………………………………………… 207
§1. Общее определение математического ожидания ………………………………………. 207
1.1. Свойство мультипликативности ………………………………………………………………….. 215
1.2. Свойства почти – наверное ………………………………………………………………………….. 217
1.3. Свойства сходимости ………………………………………………………………………………….. 220
1.4. Формулы вычисления математического ожидания……………………………………… 223
1.4.1. Теорема Фубини и некоторые ее применения ……………………………………………. 227

1.5. Дисперсия …………………………………………………………………………………………………… 230
1.6. Связанные с математическим ожиданием неравенства …………………………. 236
1.7. Математическое ожидание и дисперсия: примеры вычисления ……………… 240
1.8. Задания для самостоятельной работы …………………………………………………. 252
§2. Условные вероятности и условные математические ожидания
относительно разбиений и сигма-алгебр ………………………………………………………… 259
2.1. Условные вероятности и условные математические ожидания относительно
разбиений …………………………………………………………………………………………………………. 263
2.1.1. Условное математическое ожидание одной простой случайной величины
относительно другой простой случайной величины …………………………………….. 265
2.2. Условные вероятности и условное математическое ожидания
относительно сигма-алгебр ………………………………………………………………………… 269
2.2.1.Существование условного математического ожидания относительно
сигма-алгебры …………………………………………………………………………………………………… 271
2.2.2. Согласованность определения условного математического ожидания
относительно разбиения с определением условного математического ожидания
относительно сигма-алгебры ……………………………………………………………………………… 274
2.2.3. Свойства условного математического ожидания …………………………………. 274
2.3. Структура условного математического ожидания случайной величины
относительно другой случайной величины ………………………………………………. 282
2.4. Условное математическое ожидание и оптимальная
в среднеквадратичном смысле оценка ……………………………………………………………….. 287
2.5. Задания для самостоятельной работы ……………………………………………………. 290
Глава V. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ В СХЕМЕ БЕРНУЛЛИ ………………………. 297
§1. Законы больщих чисел ………………………………………………………………………………. 297
§2. Предельные теоремы Муавра – Лапласа …………………………………………………… 301
2.1. Локальная теорема Муавра – Лапласа …………………………………………………………. 302
2.2. Интегральная теорема Муавра – Лапласа …………………………………………….. 306
2.2.1. Отклонение относительной частоты успеха от постоянной
вероятности успеха ……………………………………………………………………………………………. 310
2.2.2. Нахождение вероятности числа успехов в заданном промежутке ……………. 312
§3. Теорема Пуассона ………………………………………………………………………………………. 315
§4. Задания для самостоятельной работы ………………………………………………………. 317
Глава VI. РАЗНЫЕ ВИДЫ СХОДИМОСТИ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ СЛУЧАЙНЫХ ЕЛИЧИН ………………………………. 319
§1. Различные виды сходимости последовательностей случайных
величин и их связь ………………………………………………………………………………………….. 319
§2. Слабая сходимость …………………………………………………………………………………….. 327
§3. Критерий Коши сходимостей по вероятности и с вероятностью 1 ……………. 332
§4. Задания для самостоятельной работы ……………………………………………………….. 336

Additional Information

Переплет

Мягкий, Твердый

Отзывы

Отзывов пока нет.

Будьте первым, кто оставил отзыв на “Теория вероятностей и математическая статистика: в 2 частях. Часть I. Аканбай Н.”